Vers la fonction exponentielle : Un problème de Leibniz

Leibniz, mathématicien allemand (1646-1716) a étudié le problème suivant :

f est une fonction dérivable sur [latex]\mathbb{R}[/latex] telle que [latex]f(0) = 1[/latex]

Dans un repère orthonormé [latex](O,\overrightarrow i ,\overrightarrow j )[/latex], C est sa courbe représentative.
a désigne un nombre réel tel que [latex]f'(a) \ne 0[/latex] et H est le point de coordonnées (a; 0).
T est la tangente à C au point A (a; f(a)) et M est le point d’intersection de T avec l’axe des abscisses.

On se propose de déterminer, si elle existe, une fonction f pour laquelle, pour tout nombre réel a :
[latex]
\overrightarrow {MH} = \overrightarrow i
[/latex]

La représentation graphique ci-dessous vérifie bien la condition en A.
Par contre, elle ne le vérifie pas pour d’autres points et ne vérifie pas non plus la condition : [latex]f(0) = 1[/latex]

IMG_6016.JPG

La condition ci-dessus revient à ce que, pour tout nombre réel a :

[latex]
f'(a) = f(a)
[/latex]